Question

根據定義在集合A上的函數y=f（x），構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①輸入數據x∈A，計算出x₁=f（x）；
②若x∉A，則數列發生器結束工作；
若x∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計算出x₂=f（x₁）．并依此規律繼續下去．
現在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求證：對任意x∈A，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}；
（2）若，記（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）在得條件下，證明（m∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故對任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列；
（2）易證{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列，從而求出，從而求出a_n=+1；
（3）要證，即證，只需證，當m∈N^*時，利用二項式定理以及放縮法證明不等式即可．
解答：解：（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴
又
∴
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故對任意x∈A，有x₁=f（x）∈A，
 由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
  x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列
（2）由x_n+1=f（x_n）=，可得，
∴，
即．
令b_n=a_n-1，則，
又，
所以{b_n}是以為首項，以為公比的等比數列．
，即a_n=+1      
（3）要證，即證，只需證，
當m∈N^*時，
有=++…+≥2，
因為，當k≥2 時，
由．
所以，當m≥2時=++…+，
＜1+1+（1-）+（-）+…（-）=3-＜3
又當m=1時，，
所以對于任意m∈N^*，都有
所以對于任意m∈N^*，都有證．
點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，以及無窮數列的證明和二項式定理證明不等式，屬于難題．