Question

（08年宣武區質量檢一）（14分）

根據定義在集合A上的函數y=，構造一個數列發生器，其工作原理如下：

①     輸入數據，計算出；

②     若，則數列發生器結束工作；

若，則輸出，并將反饋回輸入端，再計算出。并依此規律繼續下去。

現在有，。

（1）       求證：對任意，此數列發生器都可以產生一個無窮數列；

（2）       若，記，求數列的通項公式；

（3）       在（2）得條件下，證明。

Answer 1

解析：（1）當，即時，由，可知，

又

，即

故對任意 有，

由 有，

 有；

以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列………………4分

（2）由，可得，

，

即。

令，則，

又，

所以是以為首項，以為公比的等比數列。

，即=+1……………………………………..9分

（3）要證，即證，只需證，

當時，

有，

因為，當時，

由。

所以，當時

        <1+1+

又當m=1時，

所以對于任意，都有

所以對于任意，都有……………………………………..14分