Question

（2012•成都模擬）根據定義在集合A上的函數y=f（x），構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①輸入數據x₀∈A，計算出x₁=f（x₀）；
②若x₀∉A，則數列發生器結束工作；
若x₀∈A，則輸出x₁，并將x₁反饋回輸入端，再計算出x₂=f（x₁）．并依此規律繼續下去．
現在有A={x|0＜x＜1}，f(x)=

mx

m+1-x

（m∈N^*）．
（1）求證：對任意x₀∈A，此數列發生器都可以產生一個無窮數列{x_n}；
（2）若x0=

1

2

，記an=

1

xn

（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）在得條件下，證明

1

4

＜xm≤

1

3

（m∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故對任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列；
（2）易證{b_n}是以

m+1

m

為首項，以

m+1

m

為公比的等比數列，從而求出bn=(

m+1

m

)n，從而求出a_n=(

m+1

m

)n+1；
（3）要證

1

4

＜xm≤

1

3

，即證3≤(

m+1

m

)m+1＜4，只需證2≤(1+

1

m

)m＜3，當m∈N^*時，利用二項式定理以及放縮法證明不等式即可．

解答：解：（1）當x∈A，即0＜x＜1 時，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴

mx

m+1-x

＞0
又

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0
∴

mx

m+1-x

＜1
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故對任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，
 由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
  x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此類推，可一直繼續下去，從而可以產生一個無窮數列
（2）由x_n+1=f（x_n）=

mxn

m+1-xn

，可得

1

xn+1

=

m+1

m

 •

1

x

-

1

m

，
∴an+1=

m+1

m

an-

1

m

，
即an+1=

m+1

m

(an-1)．
令b_n=a_n-1，則bn+1=

m+1

m

bn，
又b1=

m+1

m

≠0，
所以{b_n}是以

m+1

m

為首項，以

m+1

m

為公比的等比數列．
bn=(

m+1

m

)n，即a_n=(

m+1

m

)n+1      
（3）要證

1

4

＜xm≤

1

3

，即證3≤(

m+1

m

)m+1＜4，只需證2≤(1+

1

m

)m＜3，
當m∈N^*時，
有(1+

1

m

)m=

C

0 m

(

1

m

)0+

C

1 m

(

1

m

)1+…+

C

m m

(

1

m

)m≥2，
因為，當k≥2 時，
由

C

k m

(

1

m

)k=

m(m-1)…(m-k+1 )

m

1

k!

＜

1

k!

≤

1

k-1

-

1

k

．
所以，當m≥2時(1+

1

m

)m=

C

0 m

(

1

m

)0+

C

1 m

(

1

m

)1+…+

C

m m

(

1

m

)m，
＜1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…（

1

n-1

-

1

n

）=3-

1

n

＜3
又當m=1時，2≤(1+

1

m

)m=2＜3，
所以對于任意m∈N^*，都有 (1+

1

m

)m＜3
所以對于任意m∈N^*，都有證

1

4

＜xm≤

1

3

．

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式，以及無窮數列的證明和二項式定理證明不等式，屬于難題．