Question

已知函數f（x）的自變量取值區間為A，若其值域也為A，則稱區間A為f（x）的保值區間．若g（x）=x+m-lnx的保值區間是[2，+∞），則m的值為

ln2

．

Answer 1

分析：根據g（x）的保值區間得到m的取值范圍，求出函數的導函數的增減區間，2≤1-m即m≤-1時，則g（1-m）=2得m的值即可．

解答：解：∵g′（x）=1-

1

x

＞0，得x＞1
所以g（x）在（1，+∞）上為增函數，同理可得g（x）在（0，1）上為減函數．
又因為g（x）=x+m-lnx的保值區間是[2，+∞），則定義域為[2，+∞）
所以函數g（x）在[2，+∞）上單調遞增
g（x）_min=g（2）=2+m-ln2=2
所以m=ln2．
故答案為：ln2．

點評：本題主要考查學生求函數定義域、值域的能力，以及利用導數研究函數增減性的能力，屬于中檔題．