Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}×{9}^{n}$，再利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)公比為q，
由a₃²=9a₂a₆，可得${a}_{3}^{2}$=9${a}_{4}^{2}$．可得a₃=3a₄，∴q=$\frac{1}{3}$，
又2a₁+3a₂=1，∴2a₁+3a₁×$\frac{1}{3}$=1，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}×{9}^{n}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{9}^{n+1}}{\frac{1}{3}×{9}^{n}}$=9與n無(wú)關(guān)，
故{b_nz}是等比數(shù)列，公比為9，首項(xiàng)為3．
∴S_n=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．