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求證：函數f（x）=x+
1x
在區間（0，1]上是減函數．
分析：利用減函數的定義即可證明．
解答：證明：任取x1，x2∈（0，1]，且x1＜x2，
則f(x1)-f(x2)=(x1+
1
x1
)-(x2+
1
x2
)=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
，
∵0＜x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f(x)=x+
1
x
在區間（0，1]上是減函數．
點評：正確理解函數的單調性的定義和熟練掌握證明函數單調性的方法步驟是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=alnx+x2（a為實常數）．
（1）若a=-2，求證：函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（2）求函數f（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在（-∞，+∞）的函數f（x），對任意x∈R，恒有f（x+
π2
）=-f（x）成立．
（1）求證：函數f（x）是周期函數，并求出它的最小正周期T；
（2）若函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，求出f（x）的解析式，寫出它的對稱軸方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
2xx-2

（1）求證：函數f（x）在區間（2，+∞）內單調遞減；
（2）求函數在x∈[3，5]的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0時，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求證：函數f（x）是奇函數；
（2）試問f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若無，說明理由．
（3）解關于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)（b≤0）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且f（1）=-
a2
．
（1）求證：函數f（x）有兩個零點；
（2）設x1，x2是函數的兩個零點，求|x1-x2|的取值范圍．

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同步練習冊答案
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