Question

已知定義在（-∞，+∞）的函數f（x），對任意x∈R，恒有f（x+

π

2

）=-f（x）成立．
（1）求證：函數f（x）是周期函數，并求出它的最小正周期T；
（2）若函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，求出f（x）的解析式，寫出它的對稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）由f（x+

π

2

）=-f（x），利用周期函數的概念可證得函數f（x）是周期函數，并求出它的最小正周期T；
（2）由圖可求得ω，A，φ，從而可求得f（x）的解析式，并能求得它的對稱軸方程．

解答：（1）證明：∵f（x+

π

2

）=-f（x），
∴f[（x+

π

2

）+

π

2

]=-f（x+

π

2

）=-[-f（x）]=f（x），…2分
∴f（x）是周期函數，它的最小正周期為π；…4分
（2）由（1）知f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2，…6分
由圖象知，A=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），…8分
又2×

π

3

+φ=π，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

），…10分
由2x+

π

3

=kπ+

π

2

得：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z），
∴它的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）…12分

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，求φ是難點；考查函數的周期性，考查正弦函數的對稱性，屬于中檔題．