Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（1）求{S_n}的通項公式．
（2）證明：對?n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），得到{S_n+1}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，求出S_n+1的通項公式即可得到S_n=2ⁿ-1；
（2）利用做差法得到a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1，分別表示出各項，利用錯位相減法得到小于4即可．
解答：（1）依題意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1），S₁+1=a₁+1=2≠0
所以{S_n+1}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，所以S_n+1=2ⁿ，S_n=2ⁿ-1
（2）對?n∈N^*，a_n+1=S_n+1-S_n=2ⁿ，a₁=1=2^1-1，所以?n∈N^*，a_n=2^n-1
，
所以，兩式相減，
整理得=＜4
點評：考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的通項公式，以及會利用錯位相減的方法求數(shù)列的和，會用前n+1項的和減前n項的和求出數(shù)列的通項公式．