Question

7．已知f（x）=ax+$\frac{a}{x}$，g（x）=e^x-3ax，a＞0，若對?x₁∈（0，1），存在x₂∈（1，+∞），使得方程f（x₁）=g（x₂）總有解，則實數a的取值范圍為[$\frac{e}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 對任意的x∈（0，1），f（x）的值域為（2a，+∞），要使?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則g（x）的值域B應滿足（2a，+∞）⊆B，對a進行分類討論，得出a的范圍．

解答 解：當x∈（0，1）時，f（x）=ax+$\frac{a}{x}$為減函數，
由f（1）=2a得：f（x）的值域為（2a，+∞），
若若對?x₁∈（0，1），存在x₂∈（1，+∞），使得方程f（x₁）=g（x₂）總有解，
則g（x）的值域B應滿足（2a，+∞）⊆B，
令g′（x）=e^x-3a=0，則e^x=3a，即x=ln3a，
若ln3a≤1，即3a≤e，
此時g（x）＞g（1）=e-3a，
此時由e-3a≤2a得：$\frac{e}{5}$≤a≤$\frac{e}{3}$，
若ln3a＞1，即3a＞e，
g（x）=（1，ln3a）上為減函數，在（ln3a，+∞）上為增函數，
此時當x=ln3a時，函數取最小值3a（1-ln3a）＜0＜2a滿足條件；
綜上可得：實數a的取值范圍為[$\frac{e}{5}$，+∞）
故答案為：[$\frac{e}{5}$，+∞）．

點評 本題考查了全稱命題，對數函數的圖象和性質，利用導數研究函數的最值，難度中檔．