Question

如圖，重量是2000N的重物掛在杠桿上距支點10米處．質量均勻的桿子每米的重量為100N．
（1）杠桿應當為多長，才能使得加在另一端用來平衡重物的力F最�。�
（2）若使得加在另一端用來平衡重物的力F最大為2500N，求杠桿長度的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）設出杠桿的長度為x米，平衡重物的力F做的功等于重物做的功與杠桿自身所做功的和，列式后運用基本不等式求解最小值；
（2）由（1）中得到的力F，由F小于等于2500，整理后得到關于x的一元二次不等式，求解可得范圍．

解答：解：（1）設當杠桿常x米時，在另一端用來平衡重物的力F最小，
則有Fx=10×2000+x×100×

x

2

，
F=

20000

x

+50x≥2

20000 x ×50x

=20000（當且僅當x=20時取“=”）
（2）F=

20000

x

+50x≤2500，
∴50x²-2500x+20000≤0，
即x-50x+400≤0，解得：10≤x≤40．

點評：本題考查了基本不等式，考查了數學建模思想，訓練了運用基本不等式求函數最值，解答此題的關鍵是正確建立數學模型，是易錯題．