Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，直線MN交AD的延長線于點C，BM=MN=NC=1，求AB的長和⊙O的半徑．

Answer 1

分析：由已知中AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，直線BMN是⊙O的割線，由切割線定理，結合BM=MN=NC=1，我們易求出AB的長，在直角三角形ABC中，我們利用勾股定理，易求出AC的長，再由割線定理，求出CD長后，即可得到⊙O的半徑．

解答：解：∵AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，直線BMN是⊙O的割線，
∴∠BAC=90°，AB²=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，
∴2BM²=AB²，
∴AB=

2

．
∵AB²+AC²=BC²，
∴2+AC²=9，AC=

7

．
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•

7

，
∴CD=

2

7

7

．
∴⊙O的半徑為

1

2

（CA-CD）=

5

14

7

．

點評：本題考查的知識點與圓有關的比例線段，其中分析已知的線段與未知線段的位置關系，選擇恰當的定理構造線段間的數量關系式，是解答本題的關鍵．