Question

已知f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)，直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c對任意x都成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，得到切線的斜率，再利用點斜式方程求出切線方程，最后將切線方程與g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

(m＜0)聯立方程組，使方程組只有一解，利用判別式建立等量關系，求出m即可；
（II）先求出h（x）的解析式，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值；（III）先將c分離出來，然后轉化成c≥（ln（x+1）-x）_max，結合第二問可知（ln（x+1）-x）_max，從而得到c的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數f（x）的圖象的切點坐標為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．（2分）
又∵直線l與函數y=g（x）的圖象相切，
∴方程組

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m-1）x+9=0①
依題意，方程①有兩個相等的實數根，
∴△=[2（m-1）]²-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（7分）
∴當x∈（-1，0）時，h'（x）＞0，當x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0．
∴當x=0時，h（x）取最大值，其最大值為2，
（Ⅲ）．ln（x+1）-x＜c恒成立，所以c≥（ln（x+1）-x）_max，
由（Ⅱ）可知ln（x+1）-x的最大值為0，
所以c≥0．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．