Question

已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a，定義域為D．
（1）若D=（-∞，+∞），求f（x）的單調遞減區間；
（2）若D=[-3，2]，且f（x）的最大值為19，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調遞減區間；
（2）確定函數在[-3，2]上的單調性與最值，利用f_min（x）=f（-1）=-5+a，f_max（x）=f（-3）=27+a--10=19，即可求得結論．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=-3x²+6x+9------------------------------------------2
令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3---------------------------------------3
所以f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），（3，+∞）．---------------------------5
（2）由（1）知f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3）--------------------6
當x∈（-3，-1）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；當x∈（-1，2），f′（x）＞＞0，f（x）是增函數；--------------------8
所以在[-3，2]，f_min（x）=f（-1）=-5+a（*）---------------------------9
又f（-3）=27+a，f（2）=22+a，f（-3）＞f（2），所以f_max（x）=f（-3）=27+a
由題設得27+a=19，
∴a=-8，代入（*）-------------------------------11
得f_min（x）=-13，f（x）的最小值的是-13．-----------------------12

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，正確求導，確定函數的單調性是關鍵．