Question

設a為實常數，函數f(x)＝－x³＋ax²－4.

(1)若函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線的傾斜角為，求函數f(x)的單調區間；

(2)若存在x₀∈(0，＋∞)，使f(x₀)＞0，求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)f′(x)＝－3x²＋2ax.根據題意f′(1)＝tan＝1，

∴－3＋2a＝1，

即a＝2.∴f′(x)＝－3x²＋4x＝－3x.

故f′(x)＞0，得x＜0，即0＜x＜；故f′(x)＜0，得x＞0，即x＜0或x＞.

∴f′(x)的單調遞增區間是，單調遞減區間是(－∞，0)，.

(2)f′(x)＝－3x.①若a≤0，當x＞0時，f′(x)＜0，

從而f(x)在(0，＋∞)上是減函數，又f(0)＝－4，則當x＞0時，f(x)＜－4.∴當a≤0時，不存在x₀＞0，使f(x₀)＞0.

②當a＞0，則當0＜x＜時，f′(x)＞0，當x＞時，f′(x)＜0.

從而f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．∴當x∈(0，＋∞)時，

f(x)_max＝f＝－＋－4＝－4.據題意，－4＞0，即a³＞27，∴a＞3.故a的取值范圍是(3，＋∞)．

【解析】略