Question

設a為實常數，函數f（x）=-x³+ax²-2．
（1）若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在區間[-1，2]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的導函數，然后根據函數f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，得到函數的單調性，進而來確定極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最值．
解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²-2
∴f'（x）=-3x²+2ax

∴a=2
（2）由（1）得：f（x）=-x³+2x²-2，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-），
令f'（x）＜0，并且函數的定義域為：[-1，2]
所以

∴f（x）在[-1，2]的最小值為f（0）=f（2）=-2，最大值為f（-1）=1．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值，導數高考新增內容，是�？嫉闹�識點，屬于基礎題．