Question

設a為實常數，函數f（x）=-x³+ax²-2．
（1）若函數y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在區間[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導函數，然后根據函數f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，得到函數的單調性，進而來確定極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²-2
∴f'（x）=-3x²+2ax
由題意得f′(1)=-3+2a=tan

π

4

=1
∴a=2
（2）由（1）得：f（x）=-x³+2x²-2，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

），
令f'（x）＜0，并且函數的定義域為：[-1，2]
所以則有f(x)在[-1，0]和[

4

3

，1]遞減；f(x)在[0，

4

3

]遞增
又有f(-1)=1；f(0)=-2；f(

4

3

)=-

22

27

；f(2)=-2
∴f（x）在[-1，2]的最小值為f（0）=f（2）=-2，最大值為f（-1）=1．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區間上函數的最值，導數高考新增內容，是常考的知識點，屬于基礎題．