Question

如圖所示，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，D是AC的中點。

(1)求證：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)求直線與平面所成的角的正弦值。

 

Answer 1

解法一：（1）設(shè)與相交于點P，連接PD，則P為中點，

D為AC中點，PD//.

又PD平面D，//平面D 

（2）正三棱住， 底面ABC。

又BDACBD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1tan =

=, 即二面角的大小是

（3）由（2）作AM，M為垂足。

BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC

BD平面，AM平面，BDAM

BD = DAM平面，連接MP，則就是直線與平面D所成的角。

=，AD=1，在RtD中，=，

，,

直線與平面D所成的角的正弦值為

解法二：（1）同解法一（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），=（-1，0，-）

設(shè)平面的法向量為n=（x，y，z）

則n

n

則有，得n=（，0，1）

由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量。

設(shè)n與所成角為，則，

二面角的大小是

（3）由已知，得=（-1，，），n=（，0，1）則

直線與平面D所成的角的正弦值為.