Question

設a為實數，函數f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a在什么范圍內取值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數連續可導，只需討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值．
（2）曲線f（x）與x軸僅有一個交點，可轉化成f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0即可．
解答：解：（1）令f'（x）=3x²-2x-1=0得：．
又∵當x∈（-∞，）時，f'（x）＞0；
當x∈（，1）時，f'（x）＜0；
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；
∴與x₂=（1分）別為f（x）的極大值與極小值點．
∴f（x）_極大值=；f（x）_極小值=a-1
（2）∵f（x）在（-∞，）上單調遞增，
∴當x→-∞時，f（x）→-∞；
又f（x）在（1，+∞）單調遞增，當x→+∞時，f（x）→+∞
∴當f（x）_極大值＜0或f（x）_極小值＞0時，曲線f（x）與x軸僅有一個交點．
即或a-1＞0，
∴a∈（-∞，）∪（1，+∞）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數的單調性，屬于中檔題．