Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：對（I），通過作平行線的方法，由線線平行來證線面平行．
對（II），只需證明平面BDE內的一條直線BD垂直于平面PAC內的兩條相交直線即可．

解答：證明：（Ⅰ）連接OE．
∵O是AC的中點，E是PC的中點，
∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．                                      
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，
PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．                                      
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．

點評：本題考查線面平行的判定與面面垂直的判定．證明線面平行常有兩種思路：一是線線平行⇒線面平行；二是面面平行⇒線面平行．
證明面面垂直的常用方法是：線面垂直⇒面面垂直．