Question

（2013•朝陽區二模）數列{2ⁿ-1}的前n項1，3，7，…，2ⁿ-1組成集合An={1，3，7，…，2n-1}(n∈N*)，從集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）個數，其所有可能的k個數的乘積的和為T_k（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如當n=1時，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；當n=2時，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．則當n=3時，S₃=

63

；試寫出S_n=

2

n(n+1)

2

-1

．

Answer 1

分析：根據S_n=T₁+T₂+…+T_n的意義即可求得n=3時S₃．根據S₁，S₂，S₃，猜想Sn=2

n(n+1)

2

-1，然后利用數學歸納法證明即可．

解答：解：當n=3時，A₃={1，3，7}，
T₁=1+3+7=11，T₂=1×3+1×7+3×7=31，T₃=1×3×7=21，
所以S₃=11+31+21=63；
由S₁=1=2¹-1=2

1×2

2

-1，S₂=7=2³-1=2

2×3

2

-1，S₃=63=2⁶-1=2

3×4

2

-1，猜想Sn=2

n(n+1)

2

-1，下面證明：
（1）易知n=1時成立；
（2）假設n=k時Sk=2

k(k+1)

2

-1，
則n=k+1時，S_k+1=T₁+T₂+T₃+…+T_k+1
=[T₁′+（2^k+1-1）]+[T₂′+（2^k+1-1）T₁′]+[T₃′+（2^k+1-1）T₂′]+…+[T_k′+（2^k+1-1）Tk′]（其中T_i′，i=1，2，…，k，為n=k時可能的k個數的乘積的和為T_k），
=（T1′+T2′+T3′+…Tk′）+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）（T1′+T2′+T3′+…Tk′）
=S_k+（2^k+1-1）+（2^k+1-1）S_k
=2^k+1（2

k(k+1)

2

-1）+（2^k+1-1）
=2k+1•2

k(k+1)

2

-1=2

(k+1)(k+2)

2

-1，即n=k時Sk+1=2

(k+1)(k+2)

2

-1也成立，
綜合（1）（2）知對n∈N^*Sn=2

n(n+1)

2

-1成立．
所以Sn=2

n(n+1)

2

-1．
故答案為：63；Sn=2

n(n+1)

2

-1．

點評：本題考查等差、等比數列的綜合，考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，具有一定綜合性，難度較大，能力要求較高．