Question

（2013•朝陽區二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=2cos

A

2

sin(π-

A

2

)+sin2

A

2

-cos2

A

2

．
（Ⅰ）求函數f（A）的最大值；
（Ⅱ）若f(A)=0，C=

5π

12

，a=

6

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數f（A）為

2

sin(A-

π

4

)，根據0＜A＜π，利用正弦函數的定義域和值域求得f（A）取得最大值．
（Ⅱ）由題意知f(A)=

2

sin(A-

π

4

)=0，由此求得A的值，再根據C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）f(A)=2cos

A

2

sin

A

2

+sin2

A

2

-cos2

A

2

=sinA-cosA=

2

sin(A-

π

4

)．
因為0＜A＜π，所以-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

．
則所以當A-

π

4

=

π

2

，即A=

3π

4

時，f（A）取得最大值，且最大值為

2

．…（7分）
（Ⅱ）由題意知f(A)=

2

sin(A-

π

4

)=0，所以sin(A-

π

4

)=0．
又知-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，所以A-

π

4

=0，則A=

π

4

．
因為C=

5π

12

，所以A+B=

7π

12

，則B=

π

3

．
由

a

sinA

=

b

sinB

得，b=

asinB

sinA

=

6 •sin π 3

sin π 4

=3．    …（13分）

點評：本題主要考查三角恒等變換，正弦定理、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．