Question

已知函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數．若對任意x∈（0，+∞）都有f(f(x)-

9

x

)=6，則f（1）=

 

．

Answer 1

分析：根據題意可知f（x）-

9

x

為一個常數n，從而可以得到f（x）的表達式，根據f（n）=6，即可求得n，從而得到f（x）的表達式，即可求得f（1）的值．

解答：解：∵函數f（x）在定義域（0，+∞）上是單調函數，且f(f(x)-

9

x

)=6，
∴f（x）-

9

x

為一個常數，
令這個常數為n，則有f（x）-

9

x

=n，①
f（n）=6，②
由①得 f（x）=n+

9

x

，③
令x=n，
得f（n）=n+

9

n

=6，
∴解得n=3，
∴f（x）=3+

9

x

，
∴f（1）=3+

9

1

=12，
故答案為：12．

點評：本題考查了函數單調性的性質，函數的求值問題．解題中運用了整體代換的思想和方程的思想．