Question

【題目】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B．

（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用圓的幾何性質(zhì)，總有，根據(jù)斜率公式得到軌跡方程；（Ⅱ）做出曲線的圖象， 恒過點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，可知斜率的變化范圍．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，由得，即

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，也適合上述方程

∴ 線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點(diǎn)），且，，又直線： 過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得，又，結(jié)合上圖可知當(dāng)時(shí)，直線： 曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．