Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）當x＞1時，f（x）+ ＜0恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：當n∈N* ， 且n≥2時， + +…+ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）= +b．

∵直線x﹣2y﹣2=0的斜率為0.5，且過點（1，﹣0.5），

∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5

解得a=1，b=﹣0.5

（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．

當x＞1時，f（x）+ ＜0恒成立，等價于k＜0.5x2﹣xlnx．

令g（x）=0.5x2﹣xlnx，則g′（x）=x﹣1﹣lnx．

令h（x）=x﹣1﹣lnx，則h′（x）= ．

當x＞1時，h′（x）＞0，函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，

故h（x）＞h（1）=0

從而，當x＞1時，g′（x）＞0，即函數g（x）在（1，+∞）上單調遞增，

故g（x）＞g（1）=0.5

∴k≤0.5

（3）證明：由（2）得，當x＞1時，lnx﹣0.5x+ ＜0，可化為xlnx＜ ，

又xlnx＞0，

從而， ＞ = ﹣ ．

把x=2，…n分別代入上面不等式，并相加得，

+ +…+ ＞1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1+ ﹣ ﹣ =

【解析】（1）利用函數在點（1，f（1））處的導數值即曲線的斜率及點在曲線上求得a，b的值；（2）當x＞1時，f（x）+ ＜0恒成立，等價于k＜0.5x2﹣xlnx，構造函數，求最值，即可求實數k的取值范圍；（3）證明 ＞ = ﹣ ，把x=1，2，…n分別代入上面不等式，并相加得結論．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．