Question

已知函數y=|x|+1，，（x＞0）的最小值恰好是方程x³+ax²+bx+c=0的三個根，其中0＜t＜1．
（Ⅰ）求證：a²=2b+3；
（Ⅱ）設（x₁，M），（x₂，N）是函數f（x）=x³+ax²+bx+c的兩個極值點．
①若，求函數f（x）的解析式；
②求|M-N|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用函數的單調性求出前三個函數的最小值，代入x³+ax²+bx+c=0可得a²=2b+3．
（Ⅱ）x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根⇒有，△=（2a）²-12b＞0，得b＜3 
  ①利用兩根之差的絕對值和兩根之和，兩根之積的關系，可以求得a，b，c，即得．
  ②|M-N|的取值即為兩函數值之間的關系，利用根與系數的關系進行轉化，在利用所求b＜3或a＜-1代入即可．
解答：解：（Ⅰ）三個函數的最小值依次為1，，，（3分）
由f（1）=0，得c=-a-b-1
∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]，
故方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的兩根是，．
故，．（4分）
，即2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3．（5分）
（Ⅱ）①依題意x₁，x₂是方程f'（x）=3x²+2ax+b=0的根，
故有，，
且△=（2a）²-12b＞0，得b＜3．
由（7分）
=；得，b=2，a²=2b+3=7．
由（Ⅰ）知，故a＜-1，
∴，
∴．（9分）
②|M-N|=|f（x₁）-f（x₂）|
=|（x₁³-x₂³）+a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂|•|（x₁+x₂）²-x₁x₂+a（x₁+x₂）+b|
=
=（或）．（11分）
由（Ⅰ）
∵0＜t＜1，∴2＜（a+1）²＜4，
又a＜-1，
∴，
，（或）（13分）
∴．（15分）
點評：函數的極值表示函數在某一點附近的情況，是在局部上對函數值的比較；函數的最值表示函數在一個區間上的情況，是對函數在整個區間上的函數值的比較．函數的極值不一定是最值，函數的最值也不一定是極值．