Question

如圖，四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=

2

．
（Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據邊長之間的關系得到PD⊥CD；再結合PD⊥BC即可證明結論；
（Ⅱ）連接BD，設BD交AC于點O，過O作OE⊥PB于點E，連接AE，證得∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角，最后通過求邊長即可求出結果．

解答：解；（Ⅰ）證明：∵PD=DC=1，PC=

2

，
∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，…（2分）
又∵PD⊥BC，BC∩CD=C，
∴PD⊥面ABCD…（7分）
（Ⅱ）解：連接BD，設BD交AC于點O，
過O作OE⊥PB于點E，連接AE，
∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD，
又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB，
又∵OE⊥PB，OE∩AO=O，
∴PB⊥平面AEO，從而PB⊥EO，
故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角．…（10分）
∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD，
∴在Rt△PDB中，PB=

PD2+BD2

=

1+2

=

3

，
又∵

OE

PD

=

OB

PB

，∴OE=

6

6

，…（12分）
tan∠AEO=

AO

OE

=

2 2

6 6

=

3

，∴∠AEO=60°．
故二面角A-PB-D的大小為60°．…（15分）

點評：本題主要考察二面角的平面角及其求法以及線面垂直的證明．一般在證明線面垂直時，常先證明線線垂直，進而得線面垂直．