Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)去求解函數(shù)的極值；

（2）由（1）先求出兩個(gè)極值點(diǎn)的具體值，然后再代入求得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后通過構(gòu)造函數(shù)求得其單調(diào)性，即可證明結(jié)論.

（1）由題意可得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)性和極值如表：

		－1
	+	0	－	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴，，

當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)性和極值如表：

				－1
	+	0	－	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴，

，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，極小值為，

當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，極小值為；

（2）由題意得，即，

由（1）可知，，

∴，

，

∴，

令，則，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即.

∵，∴.