Question

【題目】某房地產開發商有一塊如圖（1）所示的四邊形空地ABCD，經測量，邊界CB與CD的長都為2km，所形成的角∠．

（I）如果邊界AD與AB所形成的角，現欲將該地塊用固定高度的板材圍成一個封閉的施工場地，求至多購買多少千米長度的板材；

（II）當邊界AD與CD垂直，AB與BC垂直時，為后期開發方便，擬在這塊空地上先建兩條內部道路AE，EF，如圖（2）所示，點E在邊界CD上，且道路EF與邊界BC互相垂直，垂足為F，為節約成本，欲將道路AE，EF分別建成水泥路、砂石路，每1km的建設費用分別為、a元（a為常數）；若設，試用表示道路AE，EF建設的總費用（單位：元），并求出總費用的最小值．

Answer 1

【答案】（I） （II）；最小值為元.

【解析】

（I）由題意結合余弦定理得，利用基本不等式即可得解；

（II）由正弦定理得，則，由題意可得，，令，，求導得到最小值即可得解.

（I）連結BD，易知為等邊三角形，則，

在中，，，

由余弦定理得：

即

由基本不等式得：

則（當且僅當時“=”成立）．

則.

答：所用板材長度的最大值為．

（Ⅱ）因為AD與CD垂直，AB與BC垂直，

則ABCD四點共圓，且AC為直徑，記直徑為2R．

在ABCD中，，，

則，，

由正弦定理得：，

在和中，則，

在中，，，

則，，

又，則，

在中，，則，

則，

所以總費用．

記，，

則，

令，得，

當時，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以當時，取最小值，此時.

答．鋪設的總費用的最小值為元．