Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，求證：對任意，函數的圖象均在軸上方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據已知條件將問題轉化為恒成立，進而轉化為求函數的最值即可求解；

（Ⅱ）將不等式恒成立問題運用分離參數法，轉化為函數的最值問題，即可得證.

（Ⅰ）根據題意，得（）.因為函數在上是減函數，

所以在上恒成立，即恒成立，

故只需（）.

令函數，則，

當時，，所以函數在上單調遞增，

所以，所以，解得；

所以實數的取值范圍是.

（Ⅱ）當時，函數（），則.

令函數，則.因為，

所以函數在上單調遞增.

又因為，，

所以存在，使，可得，

所以對任意，，即，函數在上單調遞減；

對任意，，即，函數在上單調遞增，

所以.

要證函數的圖象均在軸上方，只需證，

即當時，恒成立，

即在上恒成立.

因為當時，函數是減函數，所以，

則，解得，

所以當時，對任意，函數的圖象均在軸上方.