Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）的遞增在區(qū)間，的遞減區(qū)間和；

（2）當(dāng)時，有一個零點；

當(dāng)或時，y＝f(x)有二個零點；

當(dāng)時，y＝f(x)有三個零點．

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，則的遞增在區(qū)間，的遞減區(qū)間和；

(2)由題意可得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合題意分類討論可得：

當(dāng)時，有一個零點；

當(dāng)或時，y＝f(x)有二個零點；

當(dāng)時，y＝f(x)有三個零點．

試題解析：

（1）由已知

令，得，所以函數(shù)在區(qū)間上遞增；

函數(shù)的遞減區(qū)間是和

(2)又，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，且過點(0，－)，f(－1)＝－a>0，所以在區(qū)間上有唯一的零點；

當(dāng)時，令，兩根為，

則是函數(shù)的一個極小值點，是函數(shù)的一個極大值點，

而；，

當(dāng)，即，函數(shù)在(0，＋∞)上恒小于零，

此時有一個零點；

當(dāng)，即時，函數(shù)在上有一個零點，此時有二個零點；

當(dāng)，故時，若，即，函數(shù)在上有三個零點； 若，即時，函數(shù)在上有二個零點.11分

綜上所述：當(dāng)時，有一個零點；

當(dāng)或時，y＝f(x)有二個零點；

當(dāng)時，y＝f(x)有三個零點．