Question

【題目】已知函數的圖象與直線相切，是的導函數，且.

（1）求；

（2）函數的圖象與曲線關于軸對稱，若直線與函數的圖象有兩個不同的交點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）設直線與函數的圖象相切的切點為，求得的導數可得切線的斜率，由切線方程和已知條件，可得方程組與可解得，進而得到所求的解析式；

（2）求得的解析式,，，兩式相加和相減，相除可得,令，可得要證，即證，即證，可令求得二階導數,判斷單調性,即可得證．

假設直線與函數圖象的切點為，

因為，

則由題意知，

即

所以，即①，

又，所以②

由①②可得，所以

（2）由題可知，

則，即，

兩式相加得，

兩式相減得，

以上兩式相除得，

即，

不妨設，

要證，即證，

即，

即證，

令，

那么，則，

所以在上遞增，又，

所以當時，恒成立，

所以在上遞增，且.

所以，

從而成立.