Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px（0＜p＜8）的焦點為F點Q是拋物線C上的一點，且點Q的縱坐標為4，點Q到焦點的距離為5．

（1）求拋物線C的方程；

（2）設直線l不經過Q點且與拋物線交于A，B兩點，QA，QB的斜率分別為K1，K2，若K1K2＝﹣2，求證：直線AB過定點，并求出此定點．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）見解析，定點（6，﹣4）

【解析】

（1）由拋物線的性質到焦點的距離等于到準線的距離，設的坐標，由題意可得的值，進而求出拋物線的方程；

（2）設直線的方程與拋物線聯立，求出兩根之和及兩根之積，進而求出直線，的斜率之積，由題意可得參數之間的關系，進而求出直線恒過的定點，注意直線不過，所以求出符合題意的定點的坐標．

解：（1）由題意，，直線方程為，由拋物線的性質，到焦點的距離等于到準線的距離，

由題意可得，解得或8，由題意可得，

所以拋物線的方程為：；

（2）由題意設直線的方程為：，設，，，，

聯立直線與拋物線的方程可得，整理可得，

則，①

由（1）可得可得，

即，

即，

整理可得，

將①代入可得：，即，

所以，或，

即，或，

所以直線的方程為：，即恒過，

或者即恒過，

而由題意可得直線不過，

可證得直線 恒過定點．