Question

已知點P（x，y）的坐標滿足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

，設A（1，-1），則|

OP

|cos∠AOP（O為坐標原點）的最大值為

3

4

2

．

Answer 1

分析：先畫出滿足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

的可行域，再根據平面向量的運算性質，對 |

OP

|cos∠AOP進行化簡，結合可行域，即可得到最終的結果．

解答：解：滿足

x-4y+3≤0 x+2y≤6 x-1≥0

的可行域如圖所示，
又∵|

OP

|•cos∠AOP=|

OP

|•

OA • OP

| OA || OP |

=

OA • OP

| OA |

，
∵

OA

=(1，-1)，

OP

=(x，y)，
∴|

OP

|•cos∠AOP=

x-y

2

=

2

2

(x-y)．
由圖可知，平面區域內

2

2

（x-y）值最大的點為（3，

3

2

），

2

2

（x-y）的最大值為：

3

4

2

．
故答案為：

3

4

2

．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．