Question

如圖，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中點，求證：

(1)B，C，H，G四點共面；
(2)平面EFA₁∥平面BCHG.

Answer 1

（1）利用線線平行即可證明四點共面，（2）利用線面平行證明面面平行

試題分析：(1)∵GH是△A₁B₁C₁的中位線，∴GH∥B₁C₁.又∵B₁C₁∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四點共面．
(2)∵E、F分別為AB、AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A₁G∥EB且A₁G=EB，∴四邊形A₁EBG是平行四邊形．∴A₁E∥GB.∵A₁E?平面BCHG，GB?平面BCHG.∴A₁E∥平面BCHG.∵A₁E∩EF＝E，∴平面EF A₁∥平面BCHG.
點評：線線、線面、面面間的平行關系的判定和性質，常常是通過線線關系、線面關系、面面關系的相互轉化來表達的．