Question

（2012•湖北）過點P（1，1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）|x²+y²≤4}分兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（　　）

A．x+y-2=0

B．y-1=0

C．x-y=0

D．x+3y-4=0

Answer 1

分析：由扇形的面積公式可知，劣弧

AB

所的扇形的面積S1=

1

2

α•22=2α，則S₂=4π-2α（∠AOB=α）要求面積差的最大值，即求α的最小值，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可知，只要當OP⊥AB時，α最小，可求

解答：解：設過點P（1，1）的直線與圓分別交于點A，B，且圓被AB所分的兩部分的面積分別為S₁，S₂且S₁≤S₂
劣弧

AB

所對的圓心角∠AOB=α，則S1=

1

2

α•22=2α，S₂=4π-2α（0＜α≤π）
∴S_△AOB+S₂-（S₁-S_△AOB）=4π-4α+
要求面積差的最大值，即求α的最小值，根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)可知，只要當OP⊥AB時，α最小
此時K_AB=-1，直線AB的方程為y-1=-（x-1）即x+y-2=0
故選A
解：要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過點P的圓的弦長達到最小，所以需該直線與直線OP垂直即可．
又已知點P（1，1），則K_OP=1，
故所求直線的斜率為-1．又所求直線過點P（1，1），
由點斜式得，所求直線的方程為y-1=-（x-1），即．x+y-2=0
故選A

點評：本題主要考查了直線與圓相交性質(zhì)的應用，解題的關鍵是根據(jù)扇形的面積公式把所要求解的兩面積表示出來