Question

（2012•湖北）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數．他們研究過如圖所示的三角形數：
將三角形數1，3，6，10，…記為數列{a_n}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{b_n}，可以推測：
（Ⅰ）b₂₀₁₂是數列{a_n}中的第

5030

項；
（Ⅱ）b_2k-1=

5k(5k-1)

2

．（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件及圖可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此遞推式可以得出數列{a_n}的通項為，a_n=

1

2

n（n+1），由此可列舉出三角形數1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，從而可歸納出可被5整除的三角形數每五個數中出現兩個，即每五個數分為一組，則該組的后兩個數可被5整除，由此規律即可求出b₂₀₁₂在數列{a_n}中的位置；
（II）由（I）中的結論即可得出b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

．

解答：解：（I）由題設條件可以歸納出a_n+1=a_n+（n+1），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角數依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形數每五個數中出現兩個，即每五個數分為一組，則該組的后兩個數可被5整除，
由于b₂₀₁₂是第2012個可被5整除的數，故它出現在數列{a_n}按五個一段分組的第1006組的最后一個數，由此知，b₂₀₁₂是數列{a_n}中的第1006×5=5030個數
故答案為5030
（II）由于2k-1是奇數，由（I）知，第2k-1個被5整除的數出現在第k組倒數第二個，故它是數列{a_n}中的第k×5-1=5k-1項，所以b_2k-1═

1

2

（5k-1）（5k-1+1）=

5k(5k-1)

2

故答案為

5k(5k-1)

2

點評：本題考查數列的遞推關系，數列的表示及歸納推理，解題的關鍵是由題設得出相鄰兩個三角形數的遞推關系，由此列舉出三角形數，得出結論“被5整除的三角形數每五個數中出現兩個，即每五個數分為一組，則該組的后兩個數可被5整除”，本題綜合性強，有一定的探究性，是高考的重點題型，解答時要注意總結其中的規律．