Question

【題目】已知橢圓的方程為（），其離心率，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點（不在軸上），周長為6.過橢圓右焦點 的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，面積為.

（1）求橢圓的標準方程：

（2）求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據橢圓的離心率和周長,可求得.再由橢圓中的關系,即可求得,進而得橢圓的標準方程.

（2）根據橢圓的標準方程,可得右焦點坐標,設出直線方程和.聯立直線與橢圓方程,可得關于的一元二次方程.由韋達定理表示出,,即可求得.由面積為可得關于的方程組,解方程即可求得的值,代入直線方程即可得解.

（1）由離心率,則

由周長為6,可得,

則,

,

所以橢圓的標準方程：；

（2）由（1）可知橢圓的右焦點,設直線的方程,

聯立方程組,消去,整理得,

則,,

所以,

面積.

解得,即,

所以直線的方程為.