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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）求的零點及單調區間；

（2）求證：曲線存在斜率為8的切線，且切點的縱坐標.

【答案】（1）零點為，單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出方程的解即得零點，求出，討論其符號后可得函數的單調區間.

（2）利用單調性和零點存在定理可證有解且，結合該零點滿足的方程可證.

解：（1）的定義域為，令得.

又，

當時，，故單調遞增；

當時，，故單調遞減.

因此的零點為，單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）先證明存在斜率為8的切線.

，

要證曲線存在斜率為8的切線，即證在有解.

令，則，

故在上單調遞減，

又，，

所以存在使得，得證.

接下來證明.

由上可知，.

因此，有

，

因為函數在單調遞減，因此，

因此，欲證命題成立.

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【題目】如圖（1），在矩形中，在邊上，.沿將和折起，使平面和平面都與平面垂直，連接，如圖（2）.

（1）證明：；

（2）求三棱錐的體積.

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【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：

	0項	1項	2項	3項	4項	5項	5項以上
理科生（人）	1	10	17	14	14	10	4
文科生（人）	0	8	10	6	3	2	1

（1）完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？

	比較了解	不太了解	合計
理科生
文科生
合計

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.

（i）求抽取的文科生和理科生的人數；

（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.

參考數據：

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某貧困地區共有1500戶居民，其中平原地區1050戶，山區450戶.為調查該地區2017年家庭收入情況，從而更好地實施“精準扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數據（單位：萬元）.

（1）應收集多少戶山區家庭的樣本數據？

（2）根據這150個樣本數據，得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果將頻率視為概率，估計該地區2017年家庭收入超過1.5萬元的概率；

（3）樣本數據中，有5戶山區家庭的年收入超過2萬元，請完成2017年家庭收入與地區的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“該地區2017年家庭年收入與地區有關”？

	超過2萬元	不超過2萬元	總計
平原地區
山區	5
總計

附：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

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【題目】2020年1月22日，國新辦發布消息：新型冠狀病毒來源于武漢一家海鮮市場非法銷售的野生動.專家通過全基因組比對發現此病毒與2003年的非典冠狀病毒以及此后的中東呼吸綜合征冠狀病毒，分別達到70%和40%的序列相似性.這種新型冠狀病毒對人們的健康生命帶來了嚴重威脅因此，某生物疫苗研究所加緊對新型冠狀病毒疫苗進行實驗，并將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統計數據如下：