Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）是否存在實數，使得函數的圖象與軸相切？若存在，求滿足條件的的取值范圍，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），理由詳見解析．

【解析】

（1）根據導數和函數的單調性的關系，分離參數，即可求出的取值范圍；

（2）函數的圖象與軸相切，且存在的極值等于0，根據導數和函數的極值的關系即可求出答案．

（1）在上單調遞增，

∴，在上恒成立，

即，

易知在上為增函數，

∴，

∴；

（2）函數，

設，

∴

，

令，解得或，

①當時，即時，當時，，

當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴，解得（舍去），

②當時，，即極值點為或，

∵函數的圖象與軸相切，

∴或，

當時，，解得，

當時，可得，

設，則，

則，

即，

設，

∴，

再令

∴，

當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

∴，

∴，

∴在上單調遞增，

∵，

∴存在，使得，

即，即，

綜上所述存在實數一個實數，得使得函數的圖象與軸相切．