Question

【題目】某貧困地區共有1500戶居民，其中平原地區1050戶，山區450戶.為調查該地區2017年家庭收入情況，從而更好地實施“精準扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數據（單位：萬元）.

（1）應收集多少戶山區家庭的樣本數據？

（2）根據這150個樣本數據，得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果將頻率視為概率，估計該地區2017年家庭收入超過1.5萬元的概率；

（3）樣本數據中，有5戶山區家庭的年收入超過2萬元，請完成2017年家庭收入與地區的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“該地區2017年家庭年收入與地區有關”？

	超過2萬元	不超過2萬元	總計
平原地區
山區	5
總計

附：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】（1）45戶（2）0.45（3）填表見解析；有90%的把握認為“該地區2017年家庭年收入與地區有關”.

【解析】

（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，然后求解應收集戶山區家庭的戶數.

（2）由直方圖直接求解該地區2017年家庭年收入超過1.5萬元的概率.

（3）樣本數據中，年收入超過2萬元的戶數為（0.300+0.100）×0.5×150＝30戶.而樣本數據中，有5戶山區家庭的年收入超過2萬元，完成列聯表，求出k2，即可判斷是否有90%的把握認為“該地區2017年家庭年收入與地區有關”.

（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，故應收集手機450×0.1＝45戶山區家庭的樣本數據.

（2）由直方圖可知該地區2017年家庭年收入超過1.5萬元的概率約為（0.500+0.300+0.100）×0.5＝0.45.

（3）樣本數據中，年收入超過2萬元的戶數為（0.300+0.100）×0.5×150＝30戶.

而樣本數據中，有5戶山區家庭的年收入超過2萬元，故列聯表如下：

	超過2萬元	不超過2萬元	總計
平原地區	25	80	105
山區	5	40	45
總計	30	120	150

所以，

∴有90%的把握認為“該地區2017年家庭年收入與地區有關”.