Question

已知函數，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使點M（f（x），g（x））到直線x+y-1=0的最短距離為；
（2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得M到直線的距離，令
則
∵t≥0∴a≥1時，
即t=0時，∴a=30＜a＜1時，d_min=0，不合題意
綜上a=3（6分）
（2）由
即上恒成立
也就是在[1，4]上恒成立
令，且x=t²，t∈[1，2]
由題意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立
設?（t）=at²-2t+a²，則要使上述條件成立，只需
即滿足條件的a的取值范圍是（13分）
分析：（1）先用點到直線的距離公式表示距離，利用換元法，進而利用二次函數的配方法即可求解；
（2）將絕對值符號化去，從而轉化為上恒成立，進而利用換元法轉化為at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，從而得解．
點評：本題以函數為載體，考查點線距離，考查恒成立問題，關鍵是掌握距離公式，熟練恒成立問題的處理策略．