Question

方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①曲線C不可能是圓；
②若曲線C為橢圓，則1＜t＜4；
③若曲線C為雙曲線，則t＜1或t＞4；
④若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜t＜

5

2

．
其中正確命題序號是______．

Answer 1

由圓的定義可知：當4-t=t-1時，即t=

5

2

時方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示圓，故①錯誤；
由雙曲線的定義可知：當（4-t）（t-1）＜0時，即t＜1或t＞4時方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示雙曲線，故③正確；
由橢圓定義可知：（1）當橢圓在x軸上時，當滿足

4-t＞0  t-1＞0 4-t＞t-1

時，即1＜t＜

5

2

時方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點在x軸上的橢圓，故④正確．
（2））當橢圓在y軸上時，當滿足

4-t＞0   t-1＞0 4-t＜t-1

時，即

5

2

＜t＜4時方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1表示焦點在y軸上的橢圓，故②錯誤．
故答案為：③④．