Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)P的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，試判斷與2ln（n+1）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ） 當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要使函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需f′（x）≥0在定義域恒成立，從而可求出p的值；
（Ⅱ）欲證 ＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*），分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加可得結(jié)論；
（Ⅲ）先證＞ln（1+），從而可得＞lnk-ln（k-1），再分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，可得結(jié)論．
解答：（本小題滿(mǎn)分14分）
解：（Ⅰ）p＞0，函數(shù)f（x）=定義域?yàn)閇1，+∞）．
f′（x）=．
依題意，在x∈（1，+∞）恒成立，∴p≥在x∈（1，+∞）恒成立．
而=4[-（-）²+]≤1，
∴p≥1，∴p的取值范圍為[1，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)n∈N^*時(shí)，欲證 ＞2ln（n+1），只需證＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
由（Ⅰ）可知：取p=1，則f（x）≥f（1）（x≥1），
而f（1）=0，∴≥lnx（當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）．
用代換x，得（x＞0），即＞2[ln（x+1）-lnx]（x＞0）．，
∴＞2[ln（k+1）-lnk]（k∈N^*）．
在上式中分別取k=1，2，3，…，n，并將同向不等式相加，得＞2ln（n+1）．
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，＞2ln（n+1）．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知≥lnx（x=1時(shí)，等號(hào)成立）．
而當(dāng)x≥2時(shí)：x-1≥，∴當(dāng)x≥2時(shí)，x-1＞lnx．
設(shè)g（x）=x-1-lnx，x∈（0，2），則g′（x）=1-=，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，2）上遞增，
∴g（x）≥g（1）=0，即x-1≥lnx在x∈（0，2）時(shí)恒成立．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x-1≥lnx（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立）．…①
用x代換x-1得：x≥ln（1+x）（當(dāng)且僅當(dāng)1=0時(shí)，等號(hào)成立）．…②
當(dāng)k≥2，k∈N^*時(shí)，由①得k-1＞lnk＞0，∴＞．
當(dāng)k≥2，k∈N^*時(shí)，由②得 k＞ln（1+k），用代換k，得＞ln（1+）．
∴當(dāng)k≥2，k∈N^*時(shí)，＞ln（1+）．即＞lnk-ln（k-1）．
在上式中分別取k=2，3，4，…，n，并將同向不等式相加，得．
故當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．