Question

已知函數.

（1）若在區間上不是單調函數，求實數的范圍；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，設，對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上？請說明利用.

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上

【解析】

試題分析：（1）若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是單調函數，則不恒成立；（2）含參數不等式在某區間內恒成立的問題通常有兩種處理方法：一是利用二次函數在區間上的最值來處理；二是分離參數，再去求函數的最值來處理，一般后者比較簡單，常用到兩個結論：（1），（2）.（3）與函數有關的探索問題：第一步：假設符合條件的結論存在；第二步：從假設出發，利用題中關系求解；第三步，確定符合要求的結論存在或不存在；第四步：給出明確結果；第五步：反思回顧，查看關鍵點.

試題解析：【解析】
（1）由

得，因在區間上不上單調函數

所以在上最大值大于0，最小值小于0

，

由，得

，且等號不能同時取，，即

恒成立，即

令，求導得

當時，，從而

在上是增函數，

由條件，

假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側

不妨設，則，且

是以為直角頂點的直角三角形，

是否存在等價于方程在且是否有解

①當時，方程為，化簡，此方程無解；

②當時，方程為，即

設，則

顯然，當時，，即在上為增函數

的值域為，即，當時，方程總有解

對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，而且此三角形斜邊中點在軸上

考點：1、利用導數求參數取值范圍；2、恒成立的問題；3、探究性問題