已知.
(1)當時,求
的最大值;
(2)求證:恒成立;
(3)求證:.(參考數據:
)
(1)的最大值為0;(2)詳見解析;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)設,求導利用單調性即可得其最大值;.
(2)由(1)得,,變形即得左邊的不等式:
.右邊不等式顯然不宜直接作差,故考慮作適當的變形.為了證右邊,設
.求導得
.
的符號還不能直接確定.為了確定
的符號,再設
,求導得
,所以
即
由此可知
即
,從而原命題得證;(3)首先看看所證不等式與第(2)題有何聯系.對照待證不等式,可將(2)題中的不等式變形為:
.顯然取
,得
.右邊易證如下:
;左邊則應考慮做縮小變形.由于左邊為
,故將
縮為一個等差數列.因為
,所以考慮把
縮小為
.
當時,
,這樣累加,再用等差數列的求和公式即可使問題得證.
試題解析:(1)設,則
,
所以在區間
內單調遞減,故
的最大值為
; (4分)
(2)由(1)得,對,都有
,即
,
因為,所以
. (6分)
設,則
.
設,則
,
所以在區間
內單調遞增,故
即
.
所以在區間
內單調遞增,故
即
,
因為,所以
.
從而原命題得證. (9分)
(3)由(2)得,,
令,得
.
所以; (11分)
另一方面,當時,
,
所以
從而命題得證. (14分)
考點:1、導數及其應用;2、不等式的證明.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
如圖,半徑為30的圓形(
為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料
,其中點
在圓弧上,點
在兩半徑上,現將此矩形材料卷成一個以
為母線的圓柱形罐子的側面(不計剪裁和拼接損耗),設
與矩形材料的邊
的夾角為
,圓柱的體積為
.
(1)求關于
的函數關系式?
(2)求圓柱形罐子體積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
一個圓柱形圓木的底面半徑為1m,長為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分.現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁,長度保持不變,底面為等腰梯形(如圖所示,其中O為圓心,
在半圓上),設
,木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關于θ的函數表達式;
(2)求的值,使體積V最大;
(3)問當木梁的體積V最大時,其表面積S是否也最大?請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為2y-1=0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)設函數G(x)=若方程G(x)=a2有且僅有四個解,求實數a的取值范圍.
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