Question

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（1）求關于的函數關系式？
（2）求圓柱形罐子體積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）利用解直角三角形用將OA，AB表示出來，利用OA是圓柱的底面周長，將圓柱的底面半徑用表示出來，圓柱的高就是AB，再利用圓柱的體積公式求出圓柱的體積即為所求關于的函數關系式，注意要標明定義域；（2）設sin=,將圓柱形罐子體積化為關于的函數，注意的范圍，求出的導數，利用導數求出單調區間，求出的極值，再求出函數的最大值就是圓柱形罐子體積的最大值.
試題解析：（1）
（2）令，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
即當時，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設，則
設圓柱底面半徑為，則，即，
，其中.
（2）由，得
由解得；由解得．
因此在上是增函數，在上是減函數．
所以當時，有最大值．
考點：1.圓的參數方程；2.圓柱的體積公式；3.利用導數求函數最值；4.運算求解能力.