Question

如圖，動點M到兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=-2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出點M（x，y），分類討論，根據∠MBA=2∠MAB，利用正切函數公式，建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程；
（Ⅱ）直線y=-2x+m與3x²-y²-3=0（x＞1）聯立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內
可知，m＞1，m≠2設Q，R的坐標，求出x_R，x_Q，利用，即可確定的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設M的坐標為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0
當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）
當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，
化簡可得3x²-y²-3=0
而點（2，±3）在曲線3x²-y²-3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x²-y²-3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直線y=-2x+m與3x²-y²-3=0（x＞1）聯立，消元可得x²-4mx+m²+3=0①
∴①有兩根且均在（1，+∞）內
設f（x）=x²-4mx+m²+3，∴，∴m＞1，m≠2
設Q，R的坐標分別為（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x_R=2m+，x_Q=2m-，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4）
點評：本題以角的關系為載體，考查直線、雙曲線、軌跡方程的求解，考查思維能力，運算能力，考查思維的嚴謹性，解題的關鍵是確定參數的范圍．