Question

如圖，動點M到兩定點A（-1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C。

（1）求軌跡C的方程；
（2）設直線y=-2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）設M的坐標為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0 當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）
當∠MBA≠90°時，x≠2，
由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化簡可得3x²-y²-3=0 而
點（2，±3）在曲線3x²-y²-3=0上
綜上可知，軌跡C的方程為3x²-y²-3=0（x＞1）；
（2）直線y=-2x+m與3x²-y²-3=0（x＞1）聯立，
消元可得x²-4mx+m²+3=0①
∴①有兩根且均在（1，+∞）內
設f（x）=x²-4mx+m²+3，
∴，
∴m＞1，m≠2
設Q，R的坐標分別為（x_Q，y_Q），（x_R，y_R），
∵|PQ|＜|PR|，
x_R=2m+，x_Q=2m-，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4）。