Question

（本小題滿分14分）已知函數，其中．
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，求的單調區間；
（Ⅲ）證明：對任意的在區間內均存在零點．

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，
，……………………2分
,
所以曲線在點處的切線方程為.        ……………4分
（Ⅱ），令，解得 ……………6分
因為，以下分兩種情況討論：      
（1）若變化時，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調遞增區間是的單調遞減區間是.………8分
（2）若，當變化時，的變化情況如下表：

	+		+

   
所以，的單調遞增區間是的單調遞減區間是……………………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當時，在內的單調遞減，在內單調遞增，
以下分兩種情況討論：
（1）當時，在（0，1）內單調遞減，
.
所以對任意在區間（0，1）內均存在零點.………………………12分
（2）當時，在內單調遞減，在內單調遞增，
若,
.  所以內存在零點.
若.
,        所以內存在零點. …………………13分
所以，對任意在區間（0，1）內均存在零點.
綜上，對任意在區間（0，1）內均存在零點.  …………………14分

略