Question

（2012•蘭州模擬）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1的導數f'（x）滿足f'（1）=2a-6，f′（2）=-b-18，其中常數a，b∈R．
（1）判斷函數f（x）的單調性并指出相應的單調區間；
（2）若方程f（x）=k有三個不相等的實根，且函數g（x）=x²-2kx+1在[-1，2]上的最小值為-23，求實數k的值．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3x²+2ax+b，依題意，有

f′(1)=3+2a+b=2a-6 f′(2)=12+4a+b=-b-18

，由此能判斷函數f（x）的單調性并指出相應的單調區間．
（2）由（1）知，函數f（x）當x=-1時取得極大值f（-1）=6，當x=3時取得極小值f（3）=-26．故當方程f（x）=k有三個不相等的實根時，-26＜k＜6．由此能求出方程f（x）=k有三個不相等的實根，且函數g（x）=x²-2kx+1在[-1，2]上的最小值為-23時實數k的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
依題意，有

f′(1)=3+2a+b=2a-6 f′(2)=12+4a+b=-b-18

，
解得

a=-3 b=-9

，
∴f（x）=x³-3x²-9x+1，
f′（x）=3x²-6x-9．
∵由f′（x）＞0，得x＜-1，或x＞3，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-1）、（3，+∞）上單調遞增，在（-1，3）上單調遞減．
（2）由（1）知，函數f（x）當x=-1時取得極大值f（-1）=-1-3+9+1=6，
當x=3時取得極小值f（3）=27-27-27+1=-26．
∴當方程f（x）=k有三個不相等的實根時，
-26＜k＜6．
∵g（x）=x²-2kx+1=（x-k）²+1-k²，
∴當k≥2時，g（x）_min=g（2）=4-4k+1=-23，
解得k=7，與-26＜k＜6矛盾．
當-1＜k＜2時，g(x)min=1-k2=-23，
解得k=±

6

，與-1＜k＜2矛盾．
當k≤-1時，g（x）_min=g（-1）=1+2k+1=-23，
解得k=-

25

2

＞-26，
∴k=-

25

2

．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，合理利用導數的性質，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．